Tilfeldige variabler vs sannsynlighetsfordeling
Statistiske eksperimenter er tilfeldige eksperimenter som kan gjentas på ubestemt tid med et kjent sett med resultater. Både tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordelinger er knyttet til slike eksperimenter. For hver tilfeldig variabel er det en tilhørende sannsynlighetsfordeling definert av en funksjon som kalles kumulativ fordelingsfunksjon.
Hva er en tilfeldig variabel?
En tilfeldig variabel er en funksjon som tildeler numeriske verdier til resultatene av et statistisk eksperiment. Med andre ord er det en funksjon definert fra prøveområdet til et statistisk eksperiment i settet med reelle tall.
Tenk for eksempel på et tilfeldig eksperiment med å vende en mynt to ganger. De mulige resultatene er HH, HT, TH og TT (H - hoder, T - historier). La variabelen X være antall hoder som er observert i eksperimentet. Deretter kan X ta verdiene 0, 1 eller 2, og det er en tilfeldig variabel. Her vil den tilfeldige variabelen X kartlegge settet S = {HH, HT, TH, TT} (prøveområdet) til settet {0, 1, 2} på en slik måte at HH blir kartlagt til 2, HT og TH er kartlagt til 1 og TT er kartlagt til 0. I funksjonsnotasjon kan dette skrives som, X: S → R hvor X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 og X (TT) = 0.
Det er to typer tilfeldige variabler: diskrete og kontinuerlige, og følgelig er antallet mulige verdier en tilfeldig variabel kan anta, høyst telles eller ikke. I det forrige eksemplet er den tilfeldige variabelen X en diskret tilfeldig variabel siden {0, 1, 2} er et endelig sett. Vurder nå det statistiske eksperimentet med å finne vektene til studenter i en klasse. La Y være den tilfeldige variabelen definert som vekten til en student. Y kan ta en hvilken som helst reell verdi innen et bestemt intervall. Derfor er Y en kontinuerlig tilfeldig variabel.
Hva er en sannsynlighetsfordeling?
Sannsynlighetsfordeling er en funksjon som beskriver sannsynligheten for at en tilfeldig variabel tar visse verdier.
En funksjon kalt kumulativ fordelingsfunksjon (F) kan defineres fra settet med reelle tall til settet med reelle tall som F (x) = P (X ≤ x) (sannsynligheten for at X er mindre enn eller lik x) for hvert mulig utfall x. Nå kan den kumulative fordelingsfunksjonen til X i det første eksemplet skrives som F (a) = 0, hvis a <0; F (a) = 0,25, hvis 0≤a <1; F (a) = 0,75, hvis 1≤a <2 og F (a) = 1, hvis a≥2.
I tilfelle diskrete tilfeldige variabler kan en funksjon defineres fra settet med mulige utfall til settet med reelle tall på en slik måte at ƒ (x) = P (X = x) (sannsynligheten for at X er lik x) for hvert mulig utfall x. Denne spesielle funksjonen ƒ kalles sannsynlighetsmassefunksjonen til den tilfeldige variabelen X. Nå kan sannsynlighetsmassefunksjonen til X i det første spesielle eksemplet skrives som ƒ (0) = 0,25, ƒ (1) = 0,5, ƒ (2) = 0,25, og ƒ (x) = 0 ellers. Dermed vil sannsynlighetsmassefunksjon sammen med den kumulative fordelingsfunksjonen beskrive sannsynlighetsfordelingen av X i det første eksemplet.
Når det gjelder kontinuerlige tilfeldige variabler, kan en funksjon kalt sannsynlighetsdensitetsfunksjonen (ƒ) defineres som ƒ (x) = dF (x) / dx for hver x der F er den kumulative fordelingsfunksjonen til den kontinuerlige tilfeldige variabelen. Det er lett å se at denne funksjonen tilfredsstiller ∫ƒ (x) dx = 1. Sannsynlighetstetthetsfunksjonen sammen med den kumulative fordelingsfunksjonen beskriver sannsynlighetsfordelingen til en kontinuerlig tilfeldig variabel. For eksempel blir normalfordelingen (som er en kontinuerlig sannsynlighetsfordeling) beskrevet ved bruk av sannsynlighetstetthetsfunksjonen ƒ (x) = 1 / √ (2πσ 2) e ^ ([(x-µ)] 2 / (2σ 2)).
Hva er forskjellen mellom tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordeling?
• Tilfeldig variabel er en funksjon som knytter verdiene til et prøveområde til et reelt tall.
• Sannsynlighetsfordeling er en funksjon som knytter verdier som en tilfeldig variabel kan ta til den respektive sannsynligheten for forekomst.
