Gjensidig eksklusiv vs uavhengige hendelser
Folk forveksler ofte begrepet gjensidig utelukkende hendelser med uavhengige hendelser. Dette er faktisk to forskjellige ting.
La A og B være to hendelser assosiert med et tilfeldig eksperiment E. P (A) kalles "Sannsynligheten for A". På samme måte kan vi definere sannsynlighet for B som P (B), sannsynlighet for A eller B som P (A∪B), og sannsynlighet for A og B som P (A∩B). Deretter er P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B).
Imidlertid sa to hendelser å være gjensidig utelukkende hvis forekomsten av en hendelse ikke påvirker den andre. Med andre ord kan de ikke forekomme samtidig. Derfor, hvis to hendelser A og B er gjensidig utelukkende, er A∩B = ∅, og det innebærer derfor P (A∪B) = P (A) + P (B).
La A og B være to hendelser i et prøverom S. Betinget sannsynlighet for A, gitt at B har skjedd, er betegnet med P (A | B) og er definert som; P (A | B) = P (A∩B) / P (B), forutsatt at P (B)> 0. (ellers er det ikke definert.)
En hendelse A sies å være uavhengig av en hendelse B, hvis sannsynligheten for at A ikke er påvirket av om B har skjedd eller ikke. Med andre ord har utfallet av hendelsen B ingen innvirkning på utfallet av hendelsen A. Derfor er P (A | B) = P (A). Tilsvarende er B uavhengig av A hvis P (B) = P (B | A). Derfor kan vi konkludere med at hvis A og B er uavhengige hendelser, så er P (A∩B) = P (A). P (B)
Anta at en nummerert kube rulles og en rettferdig mynt vendes. La A være begivenheten som oppnår et hode og B være den begivenheten som ruller et jevnt tall. Da kan vi konkludere med at begivenhetene A og B er uavhengige, fordi resultatet av den ene ikke påvirker utfallet av den andre. Derfor er P (A∩B) = P (A). P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. Siden P (A∩B) ≠ 0, kan A og B ikke utelukke hverandre.
Anta at en urn inneholder 7 hvite kuler og 8 svarte kuler. Definer begivenhet A som tegning av en hvit marmor og begivenhet B som tegning av en svart marmor. Forutsatt at hver marmor blir erstattet etter å ha notert fargen, vil P (A) og P (B) alltid være den samme, uansett hvor mange ganger vi trekker fra urnen. Å erstatte kulene betyr at sannsynlighetene ikke endres fra tegning til tegning, uansett hvilken farge vi valgte på den siste trekningen. Derfor er begivenhet A og B uavhengige.
Men hvis klinkekuler ble tegnet uten erstatning, endres alt. Under denne antagelsen er hendelsene A og B ikke uavhengige. Å tegne en hvit marmor første gang endrer sannsynligheten for å tegne en svart marmor på den andre tegningen og så videre. Med andre ord, hver tegning har en effekt på neste tegning, og slik at de enkelte trekningene ikke er uavhengige.
Forskjellen mellom gjensidig eksklusiv og uavhengig begivenhet
- Gjensidig eksklusivitet av hendelser betyr at det ikke er noen overlapping mellom settene A og B. Uavhengighet av hendelser betyr at det å skje A ikke påvirker B.
- Hvis to hendelser A og B utelukker hverandre, er P (A∩B) = 0.
- Hvis to hendelser A og B uavhengige, så er P (A∩B) = P (A). P (B)
