Forskjellligning vs differensialligning
Et naturlig fenomen kan beskrives matematisk ved funksjoner av en rekke uavhengige variabler og parametere. Spesielt når de uttrykkes av en funksjon av romlig posisjon og tid, resulterer det i ligninger. Funksjonen kan endres med endringen i de uavhengige variablene eller parametrene. En uendelig liten endring som skjer i funksjonen når en av variablene endres, kalles derivatet av den funksjonen.
En differensialligning er enhver ligning som inneholder derivater av en funksjon så vel som selve funksjonen. En enkel differensialligning er Newtons andre lov om bevegelse. Hvis et objekt med masse m beveger seg med akselerasjon 'a' og blir handlet med kraft F, forteller Newtons andre lov oss at F = ma. Også her varierer 'a' med tiden, vi kan omskrive 'a' som; a = dv / dt; v er hastighet. Hastighet er funksjon av rom og tid, det vil si v = ds / dt; derfor 'a' = d 2 s / dt 2.
Med tanke på disse kan vi omskrive Newtons andre lov som en differensialligning;
'F' som en funksjon av v og t - F (v, t) = mdv / dt, eller
'F' som en funksjon av s og t - F (s, ds / dt, t) = md 2 s / dt 2
Det er to typer differensialligninger; vanlig differensialligning, forkortet med ODE eller delvis differensialligning, forkortet med PDE. Vanlig differensialligning vil ha vanlige derivater (derivater av bare en variabel) i seg. Delvis differensialligning vil ha differensialderivater (derivater av mer enn en variabel) i seg.
F.eks. er F = md 2 s / dt 2 en ODE, mens α 2 d 2 u / dx 2 = du / dt er en PDE, den har derivater av t og x.
Forskjellligning er den samme som differensialligning, men vi ser på den i annen sammenheng. I differensiallikninger blir den uavhengige variabelen som tid vurdert i sammenheng med kontinuerlig tidssystem. I diskret tidssystem kaller vi funksjonen som forskjellsligning.
Forskjellligning er en funksjon av forskjeller. Forskjellene i de uavhengige variablene er tre typer; nummerrekkefølge, diskret dynamisk system og iterert funksjon.
I rekkefølge av tall genereres endringen rekursivt ved hjelp av en regel for å relatere hvert tall i sekvensen til tidligere tall i sekvensen.
Forskjellligning i et diskret dynamisk system tar noe diskret inngangssignal og produserer utgangssignal.
Difference ligning er et iterert kart for iterert funksjon. F.eks. Y 0, f (y 0), f (f (y 0)), f (f (f (y 0))), … er sekvensen til en iterert funksjon. F (y 0) er første iterat av y 0. Den k-iteraten blir betegnet med f k (y 0).
