Lineær vs ikke-lineær differensialligning
En ligning som inneholder minst en differensialkoeffisient eller derivat av en ukjent variabel, er kjent som en differensialligning. En differensialligning kan være enten lineær eller ikke-lineær. Omfanget av denne artikkelen er å forklare hva som er lineær differensialligning, hva som er ikke-lineær differensialligning, og hva er forskjellen mellom lineære og ikke-lineære differensiallikninger.
Siden utviklingen av kalkulus på 1700-tallet av matematikerne som Newton og Leibnitz, har differensialliking spilt en viktig rolle i historien om matematikk. Differensiallikninger er av stor betydning i matematikk på grunn av deres bruksområde. Differensiallikninger er kjernen i hver modell vi utvikler for å forklare ethvert scenario eller begivenhet i verden, enten det er innen fysikk, ingeniørfag, kjemi, statistikk, økonomisk analyse eller biologi (listen er uendelig). Faktisk, inntil kalkulus ble en etablert teori, var riktige matematiske verktøy utilgjengelige for å analysere de interessante problemene i naturen.
Resulterende ligninger fra en spesifikk anvendelse av kalkulator kan være svært komplekse og noen ganger ikke løselige. Imidlertid er det de vi kan løse, men kan se like og forvirrende ut. Derfor blir differensialligninger kategorisert etter deres matematiske oppførsel for lettere identifisering. Lineær og ikke-lineær er en slik kategorisering. Det er viktig å identifisere forskjellen mellom lineære og ikke-lineære differensialligninger.
Hva er en lineær differensialligning?
Anta at f: X → Y og f (x) = y, en differensialligning uten ikke-lineære termer for den ukjente funksjonen y og dens derivater er kjent som en lineær differensialligning.
Det stiller en forutsetning om at y ikke kan ha høyere indeksbetegnelser som y 2, y 3, … og multipler av derivater som
Det kan heller ikke inneholde ikke-lineære termer som Sin y, e y ^ -2 eller ln y. Det tar form,
der y og g er funksjonene til x. Ligningen er en differensialligning av orden n, som er indeksen for den høyeste ordens derivat.
I en lineær differensialligning er differensialoperatøren en lineær operator, og løsningene danner et vektorrom. Som et resultat av den lineære naturen til løsningssettet, er en lineær kombinasjon av løsningene også en løsning på differensiallikningen. Det vil si at hvis y 1 og y 2 er løsninger av differensiallikningen, er også C 1 y 1 + C 2 y 2 en løsning.
Linjæriteten til ligningen er bare en parameter for klassifiseringen, og den kan videre kategoriseres i homogene eller ikke-homogene og ordinære eller delvise differensialligninger. Hvis funksjonen er g = 0, er ligningen en lineær homogen differensialligning. Hvis f er en funksjon av to eller flere uavhengige variabler (f: X, T → Y) og f (x, t) = y, er ligningen en lineær partiell differensialligning.
Løsningsmetoden for differensiallikningen er avhengig av typen og koeffisientene til differensiallikningen. Det enkleste tilfellet oppstår når koeffisientene er konstante. Klassisk eksempel for denne saken er Newtons andre lov om bevegelse og dens forskjellige anvendelser. Newtons andre lov produserer en andreordens lineær differensialligning med konstante koeffisienter.
Hva er en ikke-lineær differensialligning?
Ligninger som inneholder ikke-lineære termer er kjent som ikke-lineære differensialligninger.
Alt ovenfor er ikke-lineære differensialligninger. Ikke-lineære differensialligninger er vanskelige å løse, derfor er det nødvendig med nøye studier for å oppnå en riktig løsning. Ved delvise differensialligninger har de fleste ligningene ingen generell løsning. Derfor må hver ligning behandles uavhengig.
Navier-Stokes-ligning og Eulers ligning i fluiddynamikk, Einsteins feltligninger av generell relativitet er velkjente ikke-lineære partielle differensiallikninger. Noen ganger kan anvendelse av Lagrange-ligning på et variabelt system resultere i et system med ikke-lineære delvise differensialligninger.
Hva er forskjellen mellom lineære og ikke-lineære differensialligninger?
• En differensialligning, som bare har de lineære uttrykkene for den ukjente eller avhengige variabelen og dens derivater, er kjent som en lineær differensialligning. Den har ingen betegnelse med den avhengige variabelen for indeks høyere enn 1, og inneholder ikke flere av derivatene. Den kan ikke ha ikke-lineære funksjoner som trigonometriske funksjoner, eksponensiell funksjon og logaritmiske funksjoner med hensyn til den avhengige variabelen. Enhver differensialligning som inneholder ovennevnte termer er en ikke-lineær differensialligning.
• Løsninger av lineære differensialligninger skaper vektorrom og differensialoperatøren er også en lineær operator i vektorrom.
• Løsninger av lineære differensialligninger er relativt enklere, og generelle løsninger finnes. For ikke-lineære ligninger, i de fleste tilfeller, eksisterer ikke den generelle løsningen, og løsningen kan være problemspesifikk. Dette gjør løsningen mye vanskeligere enn de lineære ligningene.
