Power Series vs Taylor Series
I matematikk er en reell sekvens en ordnet liste over reelle tall. Formelt er det en funksjon fra settet med naturlige tall til settet med reelle tall. Hvis en n er den n- te periode på en sekvens, betegner vi den sekvens ved eller ved en 1, en 2, …, et n, …. For eksempel vurdere rekkefølgen 1, ½, ⅓, …, 1 / n, …. Det kan betegnes som {1 / n}.
Det er mulig å definere en serie ved hjelp av sekvenser. En serie er summen av vilkårene for en sekvens. Derfor er det en tilknyttet sekvens for hver sekvens og omvendt. Hvis {a n} er sekvensen som overveies, kan serien som dannes av den sekvensen representeres som:
Således, i eksempelet ovenfor, er den tilhørende serie 1 + 1 / 2- + 1 / 3- + … + 1 / n + ….
Som navnene antyder, er kraftserien en spesiell type serie, og den brukes mye i numerisk analyse og relatert matematisk modellering. Taylor-serien er en spesiell kraftserie som gir en alternativ og enkel å manipulere måte å representere kjente funksjoner på.
Hva er Power-serien?
En kraftserie er en serie av formen
som er konvergent (muligens) for noe intervall sentrert ved c. Koeffisientene a n kan være reelle eller komplekse tall, og er uavhengige av x; dvs. dummyvariabelen.
For eksempel, ved å sette en n = 1 for hver n, og c = 0, oppnås effektserien 1 + x + x 2 + ….. + x n +…. Det er lett å observere at når x ε (-1,1), konvergerer denne kraftserien til 1 / (1-x).
En kraftserie konvergerer når x = c. De andre verdiene av x som kraftserien konvergerer for, vil alltid ha form av et åpent intervall sentrert ved c. Det vil si at det vil være en verdi 0≤ R ≤ ∞ slik at for hver x tilfredsstillende | xc | ≤ R er kraftserien konvergent, og for hver x tilfredsstillende | xc |> R er kraftserien divergerende. Denne verdien R kalles konvergensradius for kraftserien (R kan ta en hvilken som helst reell verdi eller positiv uendelig).
Kraftserier kan legges til, trekkes fra, multipliseres og deles ved hjelp av følgende regler. Tenk på de to kraftseriene:
Deretter,
dvs. like vilkår blir lagt til eller trukket sammen. Det er også mulig å multiplisere og dele de to kraftseriene ved hjelp av identiteten,
Hva er Taylor-serien?
Taylor-serien er definert for en funksjon f (x) som er uendelig differensierbar i et intervall. Anta at f (x) kan differensieres i et intervall sentrert ved c. Så kraftserien som er gitt av
kalles Taylor-serien utvidelse av funksjonen f (x) om c. (Her betegner f (n) (c) det niende derivatet ved x = c). I numerisk analyse brukes et endelig antall termer i denne uendelige utvidelsen for å beregne verdier på punkter der serien er konvergent til den opprinnelige funksjonen.
En funksjon f (x) sies å være analytisk i intervallet (a, b), hvis Taylor-serien til f (x) for hver x ε (a, b) konvergerer til funksjonen f (x). For eksempel er 1 / (1-x) analytisk på (-1,1), siden Taylor-utvidelsen 1 + x + x 2 + ….. + x n + … konvergerer til funksjonen i det intervallet, og e x er analytisk overalt, siden Taylor-serien av e x konvergerer til e x for hvert reelle tall x.
Hva er forskjellen mellom Power-serien og Taylor-serien?
1. Taylor-serien er en spesiell klasse med kraftserier som bare er definert for funksjoner som er uendelig differensierbare i et åpent intervall.
2. Taylor-serien tar den spesielle formen
mens en kraftserie kan være hvilken som helst serie av skjemaet
