Integrasjon vs Summation
I matematikk over videregående skole er integrering og summering ofte funnet i matematiske operasjoner. De brukes tilsynelatende som forskjellige verktøy og i forskjellige situasjoner, men de deler et veldig nært forhold.
Mer om Summation
Oppsummering er operasjonen for å legge til en sekvens av tall, og operasjonen er ofte betegnet med den greske bokstaven med stor bokstav ma. Den brukes til å forkorte summasjonen og lik summen / summen av sekvensen. De brukes ofte til å representere serien, som egentlig er uendelige sekvenser oppsummert. De kan også brukes til å indikere summen av vektorer, matriser eller polynomer.
Oppsummeringen gjøres vanligvis for en rekke verdier som kan representeres av et generelt begrep, for eksempel en serie som har et felles begrep. Startpunktet og sluttpunktet for summeringen er kjent som henholdsvis nedre og øvre grense for summeringen.
For eksempel er summen av sekvensen a 1, a 2, a 3, a 4,…, a n a 1 + a 2 + a 3 + … + a n som lett kan representeres ved hjelp av summeringsnotasjonen som ∑ n i = 1 a i; jeg kalles summeringsindeks.
Mange varianter brukes til summeringen basert på applikasjonen. I noen tilfeller kan den øvre og nedre grense gis som et intervall eller et område, slik som ∑ 1≤i≤100 a i og ∑ i∈ [1100] a i. Eller det kan gis som et sett med tall som ∑ i∈P a i, der P er et definert sett.
I noen tilfeller kan to eller flere sigma-tegn brukes, men de kan generaliseres som følger; ∑ j ∑ k a jk = ∑ j, k a jk.
Oppsummeringen følger også mange algebraiske regler. Siden den innebygde operasjonen er tillegget, kan mange av de vanlige reglene for algebra brukes på selve summene og for de enkelte vilkårene som er avbildet av summeringen.
Mer om integrering
Integrasjonen er definert som den omvendte prosessen med differensiering. Men i sitt geometriske syn kan det også betraktes som området som er omsluttet av kurven til funksjonen og aksen. Derfor gir beregning av arealet verdien av en bestemt integral som vist i diagrammet.
Bildekilde:
Verdien av den bestemte integralen er faktisk summen av de små stripene inne i kurven og aksen. Området for hver stripe er høyden × bredden på punktet på aksen som er vurdert. Bredde er en verdi vi kan velge, si ∆x. Og høyden er omtrent verdien av funksjonen på det vurderte punktet, si f (x i). Fra diagrammet er det tydelig at jo mindre stripene er bedre, passer stripene inn i det avgrensede området, derav bedre tilnærming av verdien.
Generelt sett er den bestemte integralen I mellom punktene a og b (dvs. i intervallet [a, b] hvor en
Som en generalisering fra konseptet ovenfor, kan vi velge ∆x basert på det vurderte intervallet indeksert av i (velge bredden på området basert på posisjonen). Så får vi
I = lim ∆x → 0 ∑ n i = 1 f (x i) ∆x i = a ∫ b f (x) dx
Dette er kjent som Reimann Integral av funksjonen f (x) i intervallet [a, b]. I dette tilfellet er a og b kjent som den øvre og nedre grensen til integralet. Reimann integral er en grunnleggende form for alle integrasjonsmetoder.
I hovedsak er integrasjon summeringen av området når bredden på rektangelet er uendelig liten.
Hva er forskjellen mellom integrasjon og summasjon?
• Summasjon er å legge sammen en sekvens av tall. Oppsummeringen er vanligvis gitt i denne formen ∑ n i = 1 a i når begrepene i sekvensen har et mønster og kan uttrykkes med et generelt begrep.
• Integrering er i utgangspunktet området avgrenset av kurven til funksjonen, aksen og øvre og nedre grenser. Dette området kan gis som summen av mye mindre områder inkludert i det avgrensede området.
• Summasjon involverer de diskrete verdiene med øvre og nedre grense, mens integrasjonen innebærer kontinuerlige verdier.
• Integrasjon kan tolkes som en spesiell form for summering.
• I numeriske beregningsmetoder utføres integrering alltid som en summering.
