Kardinal vs ordinær
I vårt daglige liv kan bruk av tall ha forskjellige former i forskjellige situasjoner. For eksempel når vi teller for å finne ut størrelsen på en samling objekter, teller vi dem som en, to, tre og så videre. Når vi vil telle noe for å få følelsen av objektets posisjon, teller vi dem som første, andre, tredje og så videre. I den første telleformen sies det at tallene er hovedtall. I den andre formen for telling blir tallene betraktet som ordinære tall. I denne sammenheng er begrepene kardinal og ordinær fullstendig et spørsmål om lingvistikk; kardinal og ordinal er adjektiv.
Imidlertid avslører utvidelsen av konseptet til sett i matematikk et mye dypere og bredere perspektiv og kan ikke behandles enkelt. I denne artikkelen vil vi prøve å forstå de grunnleggende begrepene kardinal og ordinaltall i matematikk.
Formelle definisjoner av hoved- og ordinalnummer er gitt i mengdeteorien. Definisjonene er intrikate og å forstå dem i perfekt forstand trenger bakgrunnskunnskap i mengdeori. Derfor vil vi vende oss mot et par eksempler, for å forstå begrepene heuristisk.
Tenk på de to settene {1,3,6,4,5,2} og {buss, bil, ferge, tog, fly, helikopter}. Hvert sett viser et sett med elementer, og hvis vi teller antall elementer, er det tydelig at hvert har samme antall elementer, som er 6. Når vi kommer til denne konklusjonen har vi tatt størrelsen på ett sett og sammenlignet med et annet ved å bruke en Nummer. Et slikt tall kalles et hovednummer. Derfor kan vi si at et hovednummer er et tall vi kan bruke til å sammenligne størrelsen på de endelige settene.
Igjen kan det første settet med tall ordnes i stigende rekkefølge med tanke på størrelsen på hvert element og sammenligning. I bestillingsprosessen blir tallene betraktet som kardinaler. På samme måte kan settet med alle ikke-negative heltall bestilles i et sett; dvs. {0,1,2,3,4,…..}. Men i dette tilfellet blir settets størrelse uendelig, og det er ikke mulig å gi det når det gjelder ordinær. Uansett hvor stort tall du velger for å gi størrelsen på settet, vil det fortsatt være tall ut av settet du velger, og som ikke er negative helheter.
Derfor definerer matematikere denne uendelige kardinalen (som er den første) som Aleph-0, skrevet som א (første bokstav i det hebraiske alfabetet). Formelt er ordrenummeret ordretypen til et velordnet sett. Derfor kan det endelige settets ordinære antall gis med hovedtall, men for uendelige sett er ordinalt gitt med transfinite tall som Aleph-0.
Hva er forskjellen mellom kardinal og ordinærtall?
• Hovednummeret er et tall som kan brukes til å telle, eller til å gi størrelsen på et endelig bestilt sett. Alle hovednumre er ordinaler.
• Ordenstallene er tall som brukes til å gi størrelsen på både endelige og uendelige ordnede sett. Størrelsen på de endelige ordnede settene er gitt med vanlige hindu-arabiske algebraiske tall, og den uendelige størrelsen er gitt med transfinite tall.
