Ekte tall mot fantasienummer
Tall er matematiske objekter som brukes til å telle og måle. Definisjonen av den har endret seg gjennom årene med tillegg av null, negative tall, rasjonelle tall, irrasjonelle tall og imaginære tall. Selv om det abstrakte grunnlaget for tallsystemer er relatert til algebraiske strukturer som grupper, ringer og felt, presenteres bare en intuitiv idé her.
Hva er et reelt tall?
Uformelt definerende, et reelt tall er et tall der firkanten ikke er negativ. I matematisk betegnelse betegner vi settet med reelle tall med symbolet R. Derfor for alle x, hvis x ϵ R så x 2 ≥ 0. På en mer streng måte kan introdusere settet med reelle tall som det unike, komplette totalbestilte feltet med binær operasjon + og. sammen med ordrerelasjonen <. Denne ordensforholdet følger trikotomiloven, som sier at gitt to reelle tall x og y, holder ett og bare ett av disse 3; x> y, x <y eller x = y.
Et reelt tall kan være enten algebraisk eller transcendentalt, avhengig av om det er en rot av en polynomligning med heltallskoeffisienter eller ikke. Et reelt tall kan også være enten rasjonelt eller irrasjonelt, avhengig av om det kan uttrykkes som et forhold på to heltall eller ikke. For eksempel er 2,5 et reelt tall, som er algebraisk og rasjonelt, men ᴫ er irrasjonelt så vel som transcendentalt.
Settet med reelle tall er komplett. Det betyr at for hver ikke-uformelle delmengde av reelle tall som er avgrenset over, har minst øvre grense, og fra dette kan det trekkes ut at for hver ikke-ugyldig delsett av reelle tall som er avgrenset nedenfor, har den største nedre grense. Dette skiller settet med reelle tall fra settet med rasjonelle tall. Man kan argumentere for at settet med reelle tall er bygget ved å fylle hullene i settet med ufullstendige rasjonelle tall, hvor hullene er irrasjonelle tall.
Hva er et tenkt tall?
Et imaginært tall er et tall hvis kvadrat er negativt. Med andre ord er tall som √ (-1), √ (-100) og √ (- e) imaginære tall. Alle de imaginære tallene kan skrives i form ai der i er den "imaginære enheten" √ (-1) og a er et reelt tall som ikke er null. (Vær oppmerksom på at i 2 = -1). Selv om disse tallene ser ut til å være ikke-reelle, og som navnet antyder ikke eksisterer, brukes de i mange viktige applikasjoner i den virkelige verden, innen felt som luftfart, elektronikk og ingeniørfag.
Hva er forskjellen mellom reelle tall og imaginære tall?
• Kvadratet til et reelt tall er ikke-negativt, men kvadratet til et imaginært tall er negativt.
• Sett med reelle tall danner et komplett totalt ordnet felt, mens settet med imaginære tall verken er komplett eller ordnet.
