Forskjellen Mellom Derivat Og Differensial

2024 Forfatter: Mildred Bawerman | [email protected]. Sist endret: 2023-12-16 08:41

Derivat vs Differensial

I differensialregning er derivat og differensial av en funksjon nært beslektet, men har veldig forskjellige betydninger, og brukes til å representere to viktige matematiske objekter relatert til differensierbare funksjoner.

Hva er derivat?

Derivat av en funksjon måler hastigheten funksjonsverdien endres når inngangen endres. I flervariabelfunksjoner avhenger endringen i funksjonsverdien av retningen for endringen av verdiene til de uavhengige variablene. Derfor, i slike tilfeller, velges en bestemt retning og funksjonen differensieres i den bestemte retningen. Det derivatet kalles retningsderivatet. Delderivater er en spesiell type retningsderivater.

Derivat av en vektors verdifunksjon f kan defineres som grensen

uansett hvor den eksisterer endelig. Som nevnt tidligere gir dette oss økningsgraden for funksjonen f i retning av vektoren u. Når det gjelder en enkeltverdifunksjon, reduseres dette til den velkjente definisjonen av derivatet,

For eksempel

er det overalt forskjellig, og derivatet er lik grensen

som er lik

. Derivatene av funksjoner som

finnes overalt. De er henholdsvis like funksjonene

Dette er kjent som det første derivatet. Vanligvis er det første derivatet av funksjon f betegnet med f ⁽¹⁾. Ved å bruke denne notasjonen er det mulig å definere derivater av høyere orden.

er retningsderivatet i andre rekkefølge, og betegner det ^niende derivatet med f ⁽ⁿ⁾ for hver n

definerer det ^niende derivatet.

Hva er differensial?

Differensial av en funksjon representerer endringen i funksjonen med hensyn til endringer i den uavhengige variabelen eller variablene. I den vanlige notasjon for en gitt funksjon f av en enkelt variabel x, er den totale differensielle av orden 1 df gitt ved

. Dette betyr at for en uendelig liten endring i x (dvs. dx), vil det være af ⁽¹⁾ (x) dx endring i f.

Ved å bruke grenser kan man ende opp med denne definisjonen som følger. Anta at ∆ x er endringen i x ved et vilkårlig punkt x og ∆ f er den tilsvarende endringen i funksjonen f. Det kan vises at ∆ f = f ⁽¹⁾ (x) ∆ x + ϵ, der ϵ er feilen. Nå er grensen ∆ x → 0 ^{∆ f} / _{∆ x} = f ⁽¹⁾ (x) (ved hjelp av den tidligere oppgitte definisjonen av derivat) og dermed, ∆ x → 0 ^ϵ / _{∆ x} = 0. Derfor er det mulig å konkluderer med at ∆ x → 0 ϵ = 0. Nå, som betegner ∆ x → 0 ∆ f som df og ∆ x → 0 ∆ x som dx, blir definisjonen av differensialet strengt oppnådd.

For eksempel, den deriverte av funksjonen

er

Når det gjelder funksjoner til to eller flere variabler, er den totale differensialen til en funksjon definert som summen av differensialer i retningene til hver av de uavhengige variablene. Matematisk kan det oppgis som

Hva er forskjellen mellom derivat og differensial?

• Derivat refererer til en endringshastighet for en funksjon mens differensialet refererer til den faktiske endringen av funksjonen når den uavhengige variabelen blir utsatt for endring.

• Derivatet er gitt av

men differensialet er gitt av