Associative vs Commutative
I vårt daglige liv må vi bruke tall når vi trenger å få et mål på noe. I matbutikken, på bensinstasjonen og til og med på kjøkkenet må vi legge til, trekke fra og multiplisere to eller flere mengder. Fra vår praksis utfører vi disse beregningene ganske uanstrengt. Vi legger aldri merke til eller stiller spørsmål ved hvorfor vi gjør disse operasjonene på denne spesielle måten. Eller hvorfor disse beregningene ikke kan gjøres på en annen måte. Svaret er skjult i måten disse operasjonene er definert i det matematiske feltet algebra.
I algebra defineres en operasjon som involverer to størrelser (for eksempel tillegg) som en binær operasjon. Mer presist er det en operasjon mellom to elementer fra et sett, og disse elementene kalles 'operand'. Mange operasjoner i matematikk, inkludert aritmetiske operasjoner som er nevnt tidligere, og de som er oppstått i mengdeteorien, lineær algebra og matematisk logikk kan defineres som binære operasjoner.
Det er et sett med styrende regler som gjelder en bestemt binær operasjon. Assosiative og kommutative egenskaper er to grunnleggende egenskaper ved binære operasjoner.
Mer om kommutativ eiendom
Anta at noe binær operasjon, betegnet med symbolet ⊗, utføres på elementene A og B. Hvis rekkefølgen på operandene ikke påvirker resultatet av operasjonen, sies operasjonen å være kommutativ. dvs. hvis A ⊗ B = B ⊗ A så er operasjonen kommutativ.
De aritmetiske operasjonene addisjon og multiplikasjon er kommutativ. Rekkefølgen på tallene som legges sammen eller multipliseres, påvirker ikke det endelige svaret:
A + B = B + A ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9
A × B = B × A ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20
Men i tilfelle deling gir endring i rekkefølgen den gjensidige av den andre, og i subtraksjon gir endringen det negative fra den andre. Derfor, A - B ≠ B - A ⇒ 4 - 5 = -1 og 5 - 4 = 1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5 = 0,8 og 5 ÷ 4 = 1,25 [i dette tilfellet A, B ≠ 1 og 0]
Faktisk sies subtraksjonen å være antikommutativ; hvor A - B = - (B - A).
Også de logiske forbindelsene, sammenhengen, disjunksjonen, implikasjonen og ekvivalensen er kommutativ. Sannhetsfunksjoner er også kommutative. Den angitte operasjonsunionen og krysset er pendlende. Tilsetning og det skalære produktet til vektorene er også kommutative.
Men vektorsubtraksjonen og vektorproduktet er ikke kommutativ (vektorproduktet av to vektorer er antikommutativt). Matrisetilsetningen er kommutativ, men multiplikasjonen og subtraksjonen er ikke kommutativ. (Multiplikasjon av to matriser kan være kommutative i spesielle tilfeller, for eksempel multiplikasjon av en matrise med dens inverse eller identitetsmatrise, men definitivt er matriser ikke kommutative hvis matriser ikke er av samme størrelse)
Mer om tilknyttet eiendom
En binær operasjon sies å være assosiativ hvis rekkefølgen på utførelsen ikke påvirker resultatet når to eller flere forekomster av operatøren er til stede. Tenk på elementene A, B og C og den binære operasjonen ⊗. Operasjonen ⊗ sies å være assosiativ hvis
A ⊗ B ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C
Fra de grunnleggende aritmetiske funksjonene er bare addisjon og multiplikasjon assosiative.
A + (B + C) = (A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12
A × (B × C) = (A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60
Subtraksjonen og divisjonen er ikke assosiativ;
A - (B - C) ≠ (A - B) - C ⇒ 4 - (5 - 3) = 2 og (5 - 4) - 3 = -2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2,4 og (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0,2666
De logiske forbindelsesforskjellene, sammenhengen og ekvivalensen er assosiative, som også den angitte operasjonsunionen og skjæringspunktet. Matrisen og vektortilsetningen er assosiative. Det skalære produktet til vektorene er assosiativt, men vektorproduktet er det ikke. Matriksmultiplikasjon er assosiativ bare under spesielle omstendigheter.
Hva er forskjellen mellom kommutativ og tilknyttet eiendom?
• Både assosiativ eiendom og kommutativ eiendom er spesielle egenskaper for binære operasjoner, og noen tilfredsstiller dem og andre gjør ikke.
• Disse egenskapene kan sees i mange former for algebraiske operasjoner og andre binære operasjoner i matematikk, for eksempel skjæringspunktet og foreningen i mengdeori eller de logiske forbindelsene.
• Forskjellen mellom kommutativ og assosiativ er at kommutativ eiendom sier at rekkefølgen til elementene ikke endrer det endelige resultatet mens assosiativ egenskap sier at rekkefølgen operasjonen utføres ikke påvirker det endelige svaret.
