Logaritmisk vs eksponentiell | Eksponensiell funksjon vs logaritmisk funksjon
Funksjoner er en av de viktigste klassene av matematiske objekter, som brukes mye i nesten alle underfelt av matematikk. Som navnene antyder er både eksponentiell funksjon og logaritmisk funksjon to spesialfunksjoner.
En funksjon er en sammenheng mellom to sett definert på en slik måte at for hvert element i det første settet, verdien som tilsvarer det i det andre settet, er unik. La ƒ være en funksjon definert fra sett A til sett B. For hver x ϵ A angir symbolet ƒ (x) den unike verdien i settet B som tilsvarer x. Det kalles bildet av x under ƒ. Derfor er en relasjon ƒ fra A til B en funksjon, hvis og bare hvis, for hver x ϵ A og y ϵ A, hvis x = y så ƒ (x) = ƒ (y). Settet A kalles domenet til funksjonen ƒ, og det er settet der funksjonen er definert.
Hva er eksponentiell funksjon?
Den eksponensielle funksjonen er funksjonen gitt av ƒ (x) = e x, der e = lim (1 + 1 / n) n (≈ 2.718…) og er et transcendentalt irrasjonelt tall. En av spesialitetene til funksjonen er at den avledede av funksjonen er lik seg selv; dvs. når y = e x, dy / dx = e x. Funksjonen er også en overalt kontinuerlig økende funksjon som har x-aksen som en asymptote. Derfor er funksjonen også en-til-en. For hver x ϵ R har vi den e x > 0, og det kan vises at den er på R +. Den følger også den grunnleggende identiteten e x + y = e x.e y og e 0= 1. Funksjonen kan også representeres ved bruk av serieutvidelsen gitt av 1 + x / 1! + X 2 /2! + X 3 /3! +… + X n / n! + …
Hva er logaritmisk funksjon?
Den logaritmiske funksjonen er den omvendte av den eksponensielle funksjonen. Siden den eksponentielle funksjonen er en-til-en og på R +, kan en funksjon g defineres fra settet med positive reelle tall til settet med reelle tall gitt av g (y) = x, hvis og bare hvis, y = e x. Denne funksjonen g kalles den logaritmiske funksjonen eller oftest som den naturlige logaritmen. Det er betegnet med g (x) = log e x = ln x. Siden det er det omvendte av den eksponensielle funksjonen, hvis vi tar refleksjonen av grafen til den eksponensielle funksjonen over linjen y = x, så vil vi ha grafen for den logaritmiske funksjonen. Dermed er funksjonen asymptotisk for y-aksen.
Logaritmisk funksjon følger noen grunnleggende regler der ln xy = ln x + ln y, ln x / y = ln x - ln y og ln xy = y ln x er de viktigste. Dette er også en økende funksjon, og den er kontinuerlig overalt. Derfor er det også en-til-en. Det kan vises at det er på R.
Hva er forskjellen mellom eksponentiell funksjon og logaritmisk funksjon?
• Den eksponensielle funksjonen er gitt av ƒ (x) = e x, mens den logaritmiske funksjonen er gitt av g (x) = ln x, og den tidligere er den omvendte av den siste.
• Domenet til den eksponensielle funksjonen er et sett med reelle tall, men domenet til den logaritmiske funksjonen er et sett med positive reelle tall.
• Området til den eksponensielle funksjonen er et sett med positive reelle tall, men rekkevidden til den logaritmiske funksjonen er et sett med reelle tall.
