Definitive vs Indefinite Integrals
Kalkulus er en viktig gren av matematikken, og differensiering spiller en avgjørende rolle i kalkulus. Den omvendte prosessen med differensiering er kjent som integrasjon, og den omvendte er kjent som integral, eller rett og slett, omvendt av differensiering gir en integral. Basert på resultatene de produserer, er integralene delt inn i to klasser; bestemte og ubestemte integraler.
Mer om ubestemte integraler
Ubestemt integral er mer en generell form for integrasjon, og den kan tolkes som antyderivatet til den betraktede funksjonen. Anta at differensiering av F gir f, og integrasjonen av f gir integralet. Det skrives ofte som F (x) = ∫ƒ (x) dx eller F = ∫ƒ dx hvor både F og ƒ er funksjoner til x, og F kan differensieres. I den ovennevnte formen kalles det en Reimann-integral, og den resulterende funksjonen følger en vilkårlig konstant. En ubestemt integral produserer ofte en familie av funksjoner; derfor er integralet ubestemt.
Integraler og integrasjonsprosessen er kjernen i å løse differensiallikninger. Imidlertid, i motsetning til differensieringen, følger ikke integrering alltid en klar og standard rutine; Noen ganger kan ikke løsningen uttrykkes eksplisitt når det gjelder elementær funksjon. I så fall blir den analytiske løsningen ofte gitt i form av en ubestemt integral.
Mer om Definite Integrals
Definitive integrals er de høyt verdsatte motstykkene til ubestemte integrals der integrasjonsprosessen faktisk gir et endelig antall. Det kan defineres grafisk som området avgrenset av kurven til funksjonen ƒ innenfor et gitt intervall. Hver gang integrasjonen utføres innenfor et gitt intervall av den uavhengige variabelen, gir integrasjonen en bestemt verdi som ofte skrives som en ∫ b ƒ (x) dx eller en ∫ b ƒdx.
De ubestemte integralene og bestemte integralene er sammenkoblet gjennom den første grunnleggende setningen til kalkulatoren, og det gjør at den bestemte integralen kan beregnes ved hjelp av de ubestemte integralene. Teoremet angir a ∫ b ƒ (x) dx = F (b) -F (a) hvor både F og ƒ er funksjoner til x, og F kan differensieres i intervallet (a, b). Med tanke på intervallet er a og b kjent som henholdsvis den nedre og den øvre grensen.
I stedet for å stoppe med bare virkelige funksjoner, kan integrasjonen utvides til komplekse funksjoner, og disse integralene kalles konturintegraler, der ƒ er en funksjon av den komplekse variabelen.
Hva er forskjellen mellom bestemte og ubestemte integraler?
Ubestemte integraler representerer anti-derivatet av en funksjon, og ofte en familie av funksjoner i stedet for en bestemt løsning. I bestemte integraler gir integrasjonen et endelig antall.
Ubestemte integraler forbinder en vilkårlig variabel (derav familien av funksjoner) og bestemte integraler har ikke en vilkårlig konstant, men en øvre grense og en nedre grense for integrasjon.
Ubestemt integral gir vanligvis en generell løsning på differensiallikningen.
