Diskret funksjon vs kontinuerlig funksjon
Funksjoner er en av de viktigste klassene av matematiske objekter, som brukes mye i nesten alle underfelt av matematikk. Som navnene antyder, er både separate funksjoner og kontinuerlige funksjoner to spesielle typer funksjoner.
En funksjon er en sammenheng mellom to sett definert på en slik måte at verdien for hvert element i det første settet er unik. La f være en funksjon definert fra sett A til sett B. For hver x ϵ A betegner symbolet f (x) den unike verdien i settet B som tilsvarer x. Det kalles bildet av x under f. Derfor er en relasjon f fra A til B en funksjon, hvis og bare hvis for, hver xϵ A og y ϵ A; hvis x = y så er f (x) = f (y). Settet A kalles domenet til funksjonen f, og det er settet der funksjonen er definert.
Tenk for eksempel på forholdet f fra R til R definert av f (x) = x + 2 for hver xϵ A. Dette er en funksjon hvis domene er R, som for hvert reelle tall x og y, x = y innebærer f (x) = x + 2 = y + 2 = f (y). Men forholdet g fra N til N definert av g (x) = a, hvor 'a' er en primærfaktor for x, er ikke en funksjon som g (6) = 3, så vel som g (6) = 2.
Hva er en diskret funksjon?
En diskret funksjon er en funksjon hvis domene maksimalt kan telles. Dette betyr ganske enkelt at det er mulig å lage en liste som inneholder alle elementene i domenet.
Ethvert endelig sett er på det meste tellbart. Settet med naturlige tall og settet med rasjonelle tall er eksempler på høyest utallige uendelige sett. Settet med reelle tall og settet med irrasjonelle tall er høyst ikke tellbare. Begge settene er utallige. Det betyr at det er umulig å lage en liste som inneholder alle elementene i disse settene.
En av de vanligste diskrete funksjonene er faktorfunksjonen. f: NU {0} → N rekursivt definert av f (n) = nf (n-1) for hver n ≥ 1 og f (0) = 1 kalles faktorfunksjonen. Vær oppmerksom på at domenet NU {0} maksimalt kan telles.
Hva er en kontinuerlig funksjon?
La f være en funksjon slik at for hver k i domenet til f, f (x) → f (k) som x → k. Da er f en kontinuerlig funksjon. Dette betyr at det er mulig å gjøre f (x) vilkårlig nær f (k) ved å gjøre x tilstrekkelig nær k for hver k i domenet til f.
Tenk på funksjonen f (x) = x + 2 på R. Det kan sees at som x → k, x + 2 → k + 2 som er f (x) → f (k). Derfor er f en kontinuerlig funksjon. Vurder nå g på positive reelle tall g (x) = 1 hvis x> 0 og g (x) = 0 hvis x = 0. Da er denne funksjonen ikke en kontinuerlig funksjon da grensen for g (x) ikke eksisterer (og dermed er det ikke lik g (0)) som x → 0.
Hva er forskjellen mellom diskret og kontinuerlig funksjon?
• En diskret funksjon er en funksjon hvis domene maksimalt kan telles, men det trenger ikke være tilfelle i kontinuerlige funksjoner.
• Alle kontinuerlige funksjoner ƒ har egenskapen ƒ (x) → ƒ (k) som x → k for hvert x og for hvert k i domenet til ƒ, men det er ikke tilfelle i noen diskrete funksjoner.
