Befolkning mot standard standardavvik
I statistikken brukes flere indekser for å beskrive et datasett som tilsvarer dets sentrale tendens, spredning og skjevhet. Standardavvik er et av de vanligste målingene for spredning av data fra sentrum av datasettet.
På grunn av praktiske vanskeligheter vil det ikke være mulig å benytte seg av data fra hele befolkningen når en hypotese blir testet. Derfor bruker vi dataverdier fra prøver for å gjøre slutninger om populasjonen. I en slik situasjon kalles disse estimatorer siden de estimerer verdiene for populasjonsparameteren.
Det er ekstremt viktig å bruke upartiske estimatorer i slutning. En estimator sies å være upartisk hvis den forventede verdien av estimatoren er lik populasjonsparameteren. For eksempel bruker vi gjennomsnittet av prøven som en objektiv estimator for populasjonsgjennomsnittet. (Matematisk kan det vises at den forventede verdien av prøvene er lik populasjonsgjennomsnittet). I tilfelle estimering av populasjonsstandardavvik, er standardstandardavviket også en objektiv estimator.
Hva er populasjonsstandardavvik?
Når data fra hele befolkningen kan tas i betraktning (for eksempel ved folketelling), er det mulig å beregne populasjonsstandardavviket. For å beregne standardavviket til populasjonen, beregnes først avvikene fra dataværdier fra populasjonsgjennomsnittet. Rots middelkvadrat (kvadratisk gjennomsnitt) av avvik kalles populasjonsstandardavvik.
I en klasse på 10 studenter kan data om studentene enkelt samles inn. Hvis en hypotese testes på denne studentpopulasjonen, er det ikke behov for å bruke prøveverdier. For eksempel blir vekten til de 10 studentene (i kilo) målt til 70, 62, 65, 72, 80, 70, 63, 72, 77 og 79. Da er middelvekten til de ti personene (i kilo) (70 + 62 + 65 + 72 + 80 + 70 + 63 + 72 + 77 + 79) / 10, som er 71 (i kilo). Dette er befolkningens gjennomsnitt.
Nå for å beregne populasjonsstandardavviket beregner vi avvik fra gjennomsnittet. De respektive avvikene fra gjennomsnittet er (70 - 71) = -1, (62 - 71) = -9, (65 - 71) = -6, (72 - 71) = 1, (80 - 71) = 9, (70 - 71) = -1, (63 - 71) = -8, (72 - 71) = 1, (77 - 71) = 6 og (79 - 71) = 8. Summen av kvadratene til avviket er (-1) 2 + (-9) 2 + (-6) 2 + 1 2 + 9 2 + (-1) 2 + (-8) 2 + 1 2 + 6 2 + 8 2 = 366. Befolkningsstandardavvik er √ (366/10) = 6,05 (i kilo). 71 er den nøyaktige gjennomsnittsvekten til elevene i klassen og 6.05 er den eksakte standardavviket fra 71.
Hva er eksempel på standardavvik?
Når data fra et utvalg (av størrelse n) brukes til å estimere parametere for populasjonen, beregnes prøvenes standardavvik. Først beregnes avvikene fra dataverdiene fra gjennomsnittet av prøven. Siden gjennomsnittet av prøven brukes i stedet for gjennomsnittet av populasjonen (som er ukjent), er det ikke hensiktsmessig å ta det kvadratiske gjennomsnittet. For å kompensere for bruken av prøvene, blir summen av kvadrater av avvik delt på (n-1) i stedet for n. Eksempelets standardavvik er kvadratroten til dette. I matematiske symboler er S = √ {∑ (x i -ẍ) 2 / (n-1)}, hvor S er standardavviket for prøven, ẍ er gjennomsnittet av prøven og x i er datapunktene.
Anta nå at befolkningen i forrige eksempel er studentene på hele skolen. Da vil klassen bare være et utvalg. Hvis denne prøven blir brukt i estimeringen, vil standardavviket til prøven være √ (366/9) = 6,38 (i kilo) siden 366 ble delt med 9 i stedet for 10 (prøvestørrelsen). Det faktum å observere er at dette ikke garanteres å være den nøyaktige populasjonsstandardavviksverdien. Det er bare et estimat for det.
Hva er forskjellen mellom populasjonsstandardavvik og prøve standardavvik?
• Befolkningsstandardavvik er den nøyaktige parameterverdien som brukes til å måle spredningen fra sentrum, mens standardavviket fra prøven er en objektiv estimator for det.
• Befolkningsstandardavvik beregnes når alle data om hver enkelt av befolkningen er kjent. Ellers beregnes standardavviket.
• Befolkningsstandardavvik er gitt av σ = √ {∑ (xi-µ) 2 / n} hvor µ er populasjonsgjennomsnittet og n er populasjonsstørrelsen, men standardavviket for prøven er gitt av S = √ {∑ (xi-ẍ) 2 / (n-1)} hvor ẍ er gjennomsnittet av prøven og n er størrelsen på prøven.
