Riemann Integral vs Lebesgue Integral
Integrasjon er et hovedtema i kalkulus. I bredere forstand kan integrasjon sees på som den omvendte prosessen med differensiering. Når du modellerer virkelige problemer, er det enkelt å skrive uttrykk som involverer derivater. I en slik situasjon kreves integrasjonsoperasjonen for å finne funksjonen, som ga det spesielle derivatet.
Fra en annen vinkel er integrasjon en prosess som oppsummerer produktet av en funksjon ƒ (x) og δx, der δx har en tendens til å være en viss grense. Dette er grunnen til at vi bruker integreringssymbolet som ∫. Symbolet ∫ er faktisk det vi får ved å strekke bokstaven s for å referere til sum.
Riemann Integral
Tenk på en funksjon y = ƒ (x). Integralet av y mellom a og b, der a og b tilhører et sett x, skrives som b ∫ a ƒ (x) dx = [F (x)] a → b = F (b) - F (a). Dette kalles en bestemt integral av den enkeltverdige og kontinuerlige funksjonen y = ƒ (x) mellom a og b. Dette gir arealet under kurven mellom a og b. Dette kalles også Riemann integral. Riemann integral ble opprettet av Bernhard Riemann. Riemann integrert av en kontinuerlig funksjon er basert på Jordan-mål, derfor er det også definert som grensen for Riemann-summen av funksjonen. For en virkelig verdsatt funksjon definert på et lukket intervall, Riemann-integralen av funksjonen med hensyn til en partisjon x 1, x 2,…, x ndefinert på intervallet [a, b] og t 1, t 2,…, t n, hvor x i ≤ t i ≤ x i + 1 for hver i ε {1, 2,…, n}, er Riemann-sum definert som Σ i = o til n-1 ƒ (t i) (x i + 1 - x i).
Lebesgue Integral
Lebesgue er en annen type integral, som dekker et bredt spekter av saker enn Riemann integral gjør. Lebesgue-integralen ble introdusert av Henri Lebesgue i 1902. Legesgue-integrasjon kan betraktes som en generalisering av Riemann-integrasjonen.
Hvorfor trenger vi å studere en annen integral?
La oss se på den karakteristiske funksjonen ƒ A (x) = { 0 hvis, x ikke ε A 1 hvis, x ε A på et sett A. Deretter endelig lineær kombinasjon av karakteristiske funksjoner, som er definert som F (x) = Σ a i ƒ E i (x) kalles den enkle funksjonen hvis E i er målbar for hvert i. Lebesgue-integralen av F (x) over E er betegnet med E ∫ ƒ (x) dx. Funksjonen F (x) er ikke Riemann integrerbar. Derfor omformulerer Lebesgue integral Riemann integral, som har noen begrensninger på funksjonene som skal integreres.
Hva er forskjellen mellom Riemann Integral og Lebesgue Integral?
· Lebesgue-integralen er en generaliseringsform av Riemann-integralen.
· Lebesgue-integralen tillater en tellbar uendelig av diskontinuiteter, mens Riemann-integralen tillater et endelig antall diskontinuiteter.
