Hyperbola vs Ellipse
Når en kegle kappes i forskjellige vinkler, er forskjellige kurver markert av kanten av kjeglen. Disse kurvene kalles ofte koniske seksjoner. Mer presist er en konisk seksjon en kurve oppnådd ved å krysse en rett sirkulær konisk overflate med en plan overflate. I forskjellige skjæringsvinkler er forskjellige kjeglesnitt gitt.
Både hyperbola og ellips er kjeglesnitt, og forskjellene deres sammenlignes lett i denne sammenhengen.
Mer om Ellipse
Når skjæringspunktet mellom konisk overflate og plan overflate gir en lukket kurve, er det kjent som en ellips. Den har en eksentrisitet mellom null og en (0
Linjesegmentet som går gjennom foci er kjent som hovedaksen, og aksen vinkelrett på hovedaksen og passerer gjennom sentrum av ellipsen er kjent som mindreaksen. Diameterene langs hver akse er kjent som henholdsvis den tverrgående diameteren og den konjugerte diameteren. Halvparten av hovedaksen er kjent som den halv-store aksen, og halvparten av den mindre aksen er kjent som den semi-mindre aksen.
Hvert punkt F 1 og F- 2 er kjent som brennpunktene for ellipsen og lengdene F 1 + PF 2 = 2a, hvor P er et vilkårlig punkt på ellipsen. Eksentrisitet e er definert som forholdet mellom avstanden fra et fokus til det vilkårlige punktet (PF 2) og den vinkelrette avstanden til det vilkårlige punktet fra directrix (PD). Det er også lik avstanden mellom de to fokiene og halv-hovedaksen: e = PF / PD = f / a
Den generelle ligningen til ellipsen, når den semi-store aksen og den semi-mindre aksen sammenfaller med de kartesiske aksene, er gitt som følger.
x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1
Ellipsens geometri har mange anvendelser, spesielt innen fysikk. Banene til planetene i solsystemet er elliptiske med solen som ett fokus. Reflektorene for antenner og akustiske innretninger er laget i elliptisk form for å dra nytte av det faktum at ethvert utslipp fra et fokus vil konvergere til det andre fokuset.
Mer om Hyperbola
Hyperbola er også en konisk seksjon, men den er åpen. Begrepet hyperbola er referert til de to frakoblede kurvene vist i figuren. I stedet for å lukke som en ellips fortsetter armene eller grenene av hyperbola til uendelig.
Punktene der de to grenene har kortest avstand mellom seg, er kjent som toppunktene. Linjen som går gjennom toppunktene blir betraktet som hovedaksen eller den tverrgående aksen, og det er en av hovedaksene til hyperbola. De to fokusene til parabolen ligger også på hovedaksen. Midtpunktet på linjen mellom de to toppunktene er sentrum, og lengden på linjesegmentet er den semi-store aksen. Den vinkelrette halveringslinjen til den semi-hovedaksen er den andre hovedaksen, og de to kurvene til hyperbola er symmetriske rundt denne aksen. Parabolens eksentrisitet er større enn en; e> 1.
Hvis hovedaksene sammenfaller med de kartesiske aksene, er den generelle ligningen av hyperbolen av formen:
x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1, hvor a er den semi-store aksen og b er avstanden fra sentrum til enten fokus.
Hyperbolene med åpne ender vendt mot x-aksen er kjent som øst-vest hyperbolene. Lignende hyperboler kan også oppnås på y-aksen. Disse er kjent som y-akse-hyperbolene. Ligningen for slike hyperboler har form
y 2 / a 2 - x 2 / b 2 = 1
Hva er forskjellen mellom hyperbola og ellipse?
• Både ellipser og hyperbola er kjeglesnitt, men ellipsen er en lukket kurve mens hyperbola består av to åpne kurver.
• Derfor har ellipsen endelig omkrets, men hyperbola har en uendelig lengde.
• Begge er symmetriske rundt hoved- og mindreaksen, men directrixens posisjon er forskjellig i hvert tilfelle. I ellipsen ligger den utenfor halv-hovedaksen, mens den i hyperbola ligger i halv-hovedaksen.
• Eksentrisitetene til de to kjeglesnittene er forskjellige.
0
e Hyperbola > 0
• Den generelle ligningen til de to kurvene ser den samme ut, men de er forskjellige.
• Vinkelrett bisektor på hovedaksen krysser kurven i ellipsen, men ikke i hyperbola.
(Bildekilde: Wikipedia)
